Это напрямую зависит от того, где печаталась игра. Если иностранная, то легко переносит всякие воздействия, можно мыть хоть влажными салфетками (предварительно надо проверить, конечно)). Более того, если карты очень хорошего качества, то грязь может слезать со временем сама. К примеру, у меня есть колода карт в игре "Пикник в курятнике" 2010 года издания, чего только с ней не делали дети за 12 лет. Несколько раз она покрывалась всякой грязью, но со временем она слезала. Это напрямую зависит от качества лакового слоя на компонентах. Если игра печаталась в в России, то, увы, картина будет зачастую противоположная. К примеру, колоды одного издателя, не буду его обижать, 5-7 летней давности были покрыты слоем китайского некачественного лака, который со временем не только не защищал красочный слой, но вместо это пачкал карты, т.к. краска тоже была плохая. Поэтому, если компоненты отечественные, будет труднее их привести в нормальный вид.

Мне как то досталась игра в отвратительном состоянии, оттирал чуть подсохшими влажными салфетками карты

Протекторы-лучший выход. Правда, недавно убирала пятна от еды с бумаги пл 60 (ребёнок на разделочный стол положил) - на твёрдую поверхность положила ткань и лист бумаги, сверху испорченную и накрыла более мягкой и пористой бумагой. Далее гладила горячим утюгом (без пара). Верхнюю бумагу, при появлении на ней отпечатков с загрязнениями, меняла.

Если капли жира впитались то никак, если что то прилипло, присохло то обычной бумажной салфеткой без усилий на ровной гладкой поверхности. Краплёные рубашки закрывать только цветными протекторами, или с рисунком.

Как вариант попробовать плотно сбить колоду, чтобы карты были одна к одной и в сжатом состоянии пройти мелкой наждачной бумагой по торцу. Так иногда делают с книгами. А что касается поверхностей карт то хз.